Мать – Алла Николаевна (инженер-проектировщик) родом из Краснодарского края. В детстве самостоятельно научился играть на гитаре. В 1976 году окончил музыкальную школу по классу баяна и попал в школьный ВИА «Аяксы», где ему вручили бас-гитару и микрофон. В это время Алексей написал свои первые песни, ставшие впоследствии популярными: «Свидание с сыном», «Песня о погибшем друге», «Балалаечка». С 1977 по 1982 г. Алексей - курсант Киевского высшего инженерного радиотехнического училища противовоздушной обороны (КВИРТУ ПВО). Здесь он создал ВИА «Шире круг», ставший известным не только в училище, но и в самом городе Киеве, в этот же период написаны такие песни, как «Осень», «Время», «Новогодняя песня». С 1982 по 1986 год Краев проходил военную службу в Архангельске, а с 1986 по 1997 - в Хабаровске. На Дальнем Востоке Алексей забросил свое творчество, но в июне 1996 года не выдержал и выступил в хабаровском рок-клубе «Roxy», как вокалист рок-группы «Stress». В 1997 году Алексей перевелся в С-Петербург, где служил до 2003 года. В настоящее время – офицер запаса. Переезд в город 
С-Петербург стал поводом и возможностью серьезно заняться творчеством. С 2001 года его песни регулярно звучат в эфире радио «Шансон», «Петербург», «Вертикаль», «Авторадио», «Август» (Тольятти) и других. Началась гастрольная деятельность. В 2002 году Алексей Краев почётный гость ежегодного Фестиваля сатиры и юмора имени Козьмы Пруткова в городе Сольвычегодске Архангельской области. В 2003 году он записал на студии «Мана» сольный диск «В зоне гарнизона», который был выпущен компанией «КДК-Рекордз». Алексей Краев лауреат международного конкурса патриотической песни «Славься, Отечество!» в 2003 году в Санкт-Петербурге в номинации «Автор-исполнитель». В 2004 году дипломант международного конкурса «Виват, Победа!» в городе Зеленограде (Московская обл.), дипломант конкурса «Таланты и поклонники» в С-Петербурге. Женат, воспитал и вырастил четверых детей.

Лауреат летней и зимней сессий 1-го международного фестиваля «Хорошая песня» 2005 года. В 2007 году совместно с поэтом Ильей Модестовым выпустил альбом «Мужской разговор». Участник проектов «П.П.Ш.» №1 и №2.

Дискография:
Краев Алексей 2000 г. Почему бы и нет (сингл)
Краев Алексей 2003 г. В зоне гарнизона
Краев Алексей 2005 г. В зоне гарнизона (переиздание)
Краев Алексей и Илья Модестов 2007 г. Мужской разговор